Integral Sebagai Limit Jumlah

Topik kali ini akan membahas integral sebagai limit jumlah. Setelah mengikuti pembelajaran ini, diharapkan anda dapat :

  1. Menjabarkan konsep integral melalui limit suatu jumlah.
  2. Menyelesaikan integral tertentu untuk fungsi aljabar sederhana yang diberikan batas bawah dan batas atas integrasi.
  3. Menentukan luas daerah tertutup yang dibatasi oleh sebuah kurva, sumbu koordinat, dan garis-garis dengan menggunakan konsep integral tertentu.

 

Gottfried Wilhelm Leibnitz yang hidup pada tahun 1646-1716 adalah seorang jenius universal, pakar hukum, agama, filsafat, kesusasteraan, politik, geologi, sejarah, dan matematika. Leibnitz yang lahir di Leipzig, Jerman, adalah pencipta lambang-lambang matematika terbesar. Nama kalkulus differensial dengan lambang dy/dx dan kalkulus integral dengan notasi adalah sebagian kecil karyanya.

 

 

Georg Friedrich Bernhard Reimann yang hidup pada tahun 1826-1866 adalah ilmuwan pemberi definisi modern tentang integral tertentu. Melalui teori fungsi kompleks, beliau memprakarsai topologi dan geometri yang 50 tahun kemudian memuncak dalam teori relativitas Einstein.

 

 

Integral sebagai limit jumlah

 

 

Telah kita miliki rumus-rumus untuk menghitung luas daerah di dalam persegi panjang, segitiga, lingkaran dan bidang datar beraturan lainnya. Perhatikan bidang yang diarsir pada gambar di samping. Bidang tersebut dibatasi oleh kurva f(x), sumbu x, garis x=a dan garis x=b. Bagaimana kalau kita dihadapkan kepada masalah untuk menghitung luas daerah seperti bidang yang diarsir tersebut ?

 

 

Jika daerah yang akan dihitung luasnya itu ditutupi oleh beberapa poligon yang mempunyai lebar yang sama, maka luas daerah tersebut dapat diwakili (didekati) oleh jumlah luas setiap poligon yang dibuat.
Misalkan daerah yang diarsir tersebut ditutupi 5 buah poligon, maka luas daerah yang dicari :
L = L1 + L2 + L3 + L4 + L5.
Jika lebar poligon dinyatakan dengan (perubahan x) dan ingat bahwa luas daerah poligon adalah panjang dikalikan lebar, maka:


Bagaimana dengan daerah yang "belum tertutupi" dan daerah poligon yang menjorok keluar ?

 

 

 

Agar daerah yang belum tertutupi dan daerah yang tidak diperlukan semakin kecil (hingga terjadi penyimpangan sekecil mungkin), maka upayakan yang digunakan sekecil mungkin(hingga mendekati nol). Jika lebar poligon () sekecil mungkin, maka poligon-poligon tersebut cenderung berbentuk garis-garis. Dengan kata lain, daerah yang dicari luasnya itu akan tertutupi semua oleh garis-garis. Dalam matematika, pernyataan dibuat sekecil mungkin (tetapi tidak pernah negatif) merupakan konsep limit.Jumlah dari sekumpulan pernyataan matematis yang berpola sama, dapat dinyatakan dengan notasi
(
baca sigma), jadi :

Cobalah simulasi berikut ini untuk melihat bagaimana jumlah poligon yang semakin banyak akan membuat tafsiran luas kurva mendekati nilai sebenarnya.

 

 

 

Leibnitz telah mengeluarkan notasi khusus yang mewakili pernyataan limit suatu jumlah dengan lambang (baca integral) dan pernyataan perubahan x digunakan notasi (baca derivatif x).Maka bentuk dari pernyataan

dapat ditulis menjadi :

f(x) : disebut integran
a dan b : masing-masing disebut batas bawah dan batas atas.
f(x) merupakan turunan pertama fungsi F(x)

 

Contoh soal 1

 

Hitung taksiran luas daerah yang diarsir pada gambar di atas dengan membuat partisi berjarak : 0 < 0,5 < 1 < 1,5 < 2 dan titik contoh xi adalah titik tengah selang ke i.

 

Jawaban :

Ingat semakin kecil maka semakin banyak poligon, sehingga nilai yang diperoleh akan semakin mendekati luas sesungguhnya.

 

 

Contoh soal 2

Hitung luas daerah yang diarsir dengan menjumlahkan n buah poligon yang semuanya dibuat :

a. di dalam daerah arsiran.

b. di luar daerah arsiran.

 

Jawaban a.

Karena banyaknya poligon n buah, maka lebar poligon :

 

dengan menggunakan rumus sigma, maka :

Jadi luas daerah yang diarsir = satuan luas.

 

Jawaban b

Karena banyaknya poligon n buah , maka lebar poligon :

dengan menggunakan rumus sigma, maka :

Jadi luas daerah yang diarsir = satuan luas.

 

Contoh soal 3

Hitung luas daerah yang diarsir dengan menggunakan integral tertentu

Jawaban :

adalah fungsi turunan pertama dari fungsi : (k=konstanta). Batas bawah integral x=0 dan batas atas integral x=2, maka :

Jadi luas daerah L = 4,6666 satuan luas.